92學測數學單選第5題詳解

Question

根據統計資料，在 A 小鎮當某件訊息發布後，t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的 100(1-2^{-kt})\%，其中 k 是某個大於 0 的常數。今有某訊息，假設在發布後 3 小時之內已經有 70\% 的人口聽到該訊息。又設最快要 T 小時後，有 99\% 的人口已聽到該訊息，則 T 最接近下列哪一個選項？

Accepted Answer

答案：(4)
由題意 $1-2^{-3k}=0.7$，得 $2^{-3k}=0.3$。 若 $T$ 小時後有 $99\%$，則 $1-2^{-kT}=0.99$，所以 $2^{-kT}=0.01$。 兩式取對數相除，$\dfrac{T}{3}=\dfrac{\log 0.01}{\log 0.3}$，故 $$T=3\dfrac{\log 0.01}{\log 0.3}\approx 11.48。$$ 最接近 $11\dfrac{1}{2}$ 小時，故選 $(4)$。

92學測數學單選第5題詳解

答案與本題考點

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