題目
在一個牽涉到兩個未知量 $x,y$ 的線性規劃作業中，有三個限制條件。坐標平面上符合這三個限制條件的區域是一個三角形區域。假設目標函數 $ax+by$（$a,b$ 是常數）在此三角形的一個頂點 $(19,12)$ 上取得最大值 $31$，而在另一個頂點 $(13,10)$ 取得最小值 $23$。現因業務需要，加入第四個限制條件，結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域，頂點少了 $(19,12)$，新增了 $(17,13)$ 和 $(16,11)$。在這四個限制條件下，請選出正確的選項。
- $ax+by$ 的最大值發生在 $(17,13)$
- $ax+by$ 的最小值發生在 $(16,11)$
- $ax+by$ 的最大值是 $30$
- $ax+by$ 的最小值是 $27$
詳解
因為由 $19a+12b=31$、$13a+10b=23$ 解得 $a=1,\,b=1$，故目標函數為 $x+y$。
新四邊形頂點包含 $(13,10)$、$(17,13)$、$(16,11)$ 及原三角形第三頂點 $V$。其目標函數值分別為 $23$、$30$、$27$ 與 $x_V+y_V$。
因 $(17,13)$ 是在刪去最大值頂點 $(19,12)$ 後新增於邊上的點，該邊另一端為 $V$；線性目標函數在邊上線性變化，且 $(19,12)$ 的值為 $31$、$(17,13)$ 的值為 $30$，所以因此 $V$ 的值低於 $30$。
又 $(16,11)$ 在 $(19,12)$ 與 $(13,10)$ 之間，值為 $27$，不會小於 $(13,10)$ 的 $23$。
故新區域最大值為 $30$，發生在 $(17,13)$；最小值仍為 $23$，發生在 $(13,10)$。因此 $(1)(3)$ 對，$(2)(4)$ 錯。
題目來源：民國92年指考數學甲 第6題（來源PDF第4頁）
資料版本：2026-07-21（commit bde62541）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
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引用本站：大考雷達站，〈92指考數學甲多選第6題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/092_07A_q06
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