92指考數學甲選填第9題詳解

因為設底面 $ABC$ 重心為原點，$O$ 在其正上方高 $h$ 處。取坐標 $A=(0,\tfrac{4}{\sqrt3},0)$、$B=(-2,-\tfrac{2}{\sqrt3},0)$、$C=(2,-\tfrac{2}{\sqrt3},0)$、$O=(0,0,h)$。 直線 $\overline{OA}$ 方向 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=(0,\tfrac{4}{\sqrt3},-h)$，直線 $\overline{BC}$ 方向 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(1,0,0)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{u}\times\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(0,-h,-\tfrac{4}{\sqrt3})$。取 $\overline{OA}$ 上一點 $O$、$\overline{BC}$ 上一點 $B$， $$(B-O)\cdot(\overset{\large\rightharpoonup}{u}\times\overset{\large\rightharpoonup}{v})=2\sqrt3\,h$$ 所以故兩直線距離 $$d=\dfrac{2\sqrt3\,h}{\sqrt{h^2+\tfrac{16}{3}}}=\sqrt3\;\implies\;h=\dfrac43$$ 又 $a^2=\frac{16}{3}+h^2=\frac{16}{3}+\frac{16}{9}=\frac{64}{9}$，得 $a=\frac{8}{3}$。