92學測數學補考多選第10題詳解

頁圖題文為 $f(x)=x^3-6x^2+1$。 計算： $$\begin{aligned} f(0)&=1,\\ f(1)&=1-6+1=-4,\\ f(4)&=64-96+1=-31,\\ f(6)&=216-216+1=1,\\ f(-1)&=-1-6+1=-6. \end{aligned}$$ 因 $f(0)>0$、$f(1)<0$，故 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 有實根，(1) 對。 因 $f(4)<0$、$f(6)>0$，故 $f(x)=0$ 有實根大於 $1$，(2) 對。 因 $f(-1)<0$、$f(0)>0$，可知負根落在 $(-1,0)$，不是小於 $-1$，(3) 錯。 三次函數已由符號變化確認三個相異實根，故沒有虛根，(4) 錯。 $f(x)=10$ 等價於 $x^3-6x^2-9=0$。當 $x=0$ 時左式為 $-9$，而 $x$ 足夠大時左式為正，因此有實數解，(5) 對。 故選 $(1)(2)(5)$。