113 學測數學A 第 3 題

Question

設 $a\in\{-6,-4,-2,2,4,6\}$，已知 $a$ 為實係數三次多項式 $f(x)$ 的最高次項係數，若函數 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸交於三點，且其 $x$ 坐標成首項為 $-7$、公差為 $a$ 的等差數列。試問共有幾個 $a$ 使得 $f(0)>0$？

Accepted Answer

答案：$(1)$
三個零點為 $-7$、$-7+a$、$-7+2a$。因此 $f(0)=a\left(0+7\right)\left(0+7-a\right)\left(0+7-2a\right)=7a(7-a)(7-2a)$。代入 $a\in\{-6,-4,-2,2,4,6\}$，只有 $a=2$ 時 $7a(7-a)(7-2a)>0$，所以共有 $1$ 個，故選 $(1)$。