93學測數學單選第3題詳解

若 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，由棣莫弗定理得 $$w=z^3=r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta).$$ 因為 $0\le r\le1$，所以 $0\le r^3\le1$。 又因為 $\frac{3\pi}{4}\le\theta\le\frac{5\pi}{4}$，所以 $\frac{9\pi}{4}\le3\theta\le\frac{15\pi}{4}$。 將 $3\theta$ 減去 $2\pi$ 後，可得 $\frac{\pi}{4}\le3\theta\le\frac{7\pi}{4}$。 因此映射區域是單位圓內、從 $45^\circ$ 到 $315^\circ$ 的扇形，僅缺少正實軸附近的扇形區域，與選項 $(5)$ 最接近，故選 $(5)$。