93指考數學乙單選第4題詳解

由長條圖可見，最高位數字為 $1$ 時次數最高，之後隨 $d = 2, 3, \ldots, 9$ 大致遞減，且遞減幅度逐漸變小。 逐項比較： $(1)$ $P = \dfrac{1}{9}$ 為等機率，每個最高位數字機率相同，不符合圖形。 $(2)$ $P = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{90}d$ 為線性遞減，當 $d = 9$ 時仍為 $0.4$，與圖上最高位數字 $9$ 的比例很小不符。 $(3)$ $P = \dfrac{(d - 5)^2}{60}$ 在 $d = 5$ 附近最小、兩端較大，不符合圖形。 $(4)$ $P = \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{5}\right)^d$ 遞減太快，且 $d = 1$ 時為 $\dfrac{2}{25} = 0.08$，遠低於圖上約 $\dfrac{40}{127}$ 的比例。 $(5)$ $P = \log\left(1 + \dfrac{1}{d}\right)$，當 $d = 1$ 時約為 $0.301$，之後隨 $d$ 增加逐漸遞減，至 $d = 9$ 時約為 $0.046$，最接近長條圖趨勢。 故選 $(5)$。