由 $\dfrac{1}{143}=\dfrac{a}{11}+\dfrac{b}{13}$，兩邊同乘 $143$ 得 $$13a+11b=1.$$ 一組整數解為 $a=-5, b=6$，故通解為 $$a=-5+11t,\ b=6-13t,\ t\in\mathbb{Z}.$$ 因任意公因數必整除 $13a+11b=1$，所以 $a,b$ 除 $\pm 1$ 外無公因數，$(1)$ 正確。 若 $|a|<11$，則 $t=0$ 或 $t=1$，此時 $b=6$ 或 $b=-7$，皆有 $|b|<13$，$(2)$ 正確。 若 $|a|>11$，則 $t\le -1$ 或 $t\ge 2$，此時可得 $|b|>13$，$(3)$ 正確。 又 $|6-13t|>|-5+11t|$ 對所有整數 $t$ 成立，因此 $|a|<|b|$，$(4)$ 正確。 答案為 $(1)(2)(3)(4)$。