93指考數學甲補考多選第4題詳解

因 $\alpha, \beta$ 為正實數且 $\alpha+\beta<\pi$，所以 $0<\alpha,\beta<\pi$。 $(1)$ $\sin\alpha+\sin\beta$：由 $0<\alpha,\beta<\pi$，得 $\sin\alpha>0$、$\sin\beta>0$，故 $\sin\alpha+\sin\beta>0$。 $(2)$ $\cos\alpha+\cos\beta$： $$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.$$ 因 $0<\dfrac{\alpha+\beta}{2}<\dfrac{\pi}{2}$，且 $\left|\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right|<\dfrac{\alpha+\beta}{2}<\dfrac{\pi}{2}$，所以兩個餘弦因子皆為正，故 $\cos\alpha+\cos\beta>0$。 $(3)$ $\tan\alpha+\tan\beta$：取 $\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$、$\beta=\dfrac{\pi}{6}$，則 $$\tan\alpha+\tan\beta=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}<0,$$ 故不恆正。 $(4)$ $\cot\alpha+\cot\beta$： $$\cot\alpha+\cot\beta=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\cos\beta}{\sin\beta}=\frac{\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}>0.$$ 故答案為 $(1)(2)(4)$。