令 $a=\log k$，則 $\log(k^2)=2a$。係數矩陣行列式為 $$\Delta=\begin{vmatrix}0&a&-1\\2a&1&-4\\-2&1&2\end{vmatrix}=-2(2a-1)(a-1).$$ $(1)$ $k=1$ 時，$a=0$，$\Delta\ne0$，方程組恰有一解。 $(2)$ $k=\sqrt{10}$ 時，$a=\dfrac{1}{2}$，$\Delta=0$。此時方程組可化為 $$x-2z=-5,\ y-2z=-4,$$ 故方程組有解。 $(3)$ $k=10$ 時，$a=1$，$\Delta=0$，但增廣矩陣化簡會出現矛盾式，故無解。 $(4)$ $k=100$ 時，$a=2$，$\Delta\ne0$，方程組有唯一解，並非無解。 答案為 $(1)(2)$。