93 指考數學甲補考第 7 題

Question

英國某實驗室研究一金屬圓柱（原高 $70.5$ 英寸）在不同負重下對柱高的影響，其實驗結果如下：$(0, 70.5), (2, 69.4), (4, 68.4), (6, 67.2), (8, 66.3), (10, 65.5), (12, 64.4)$，其中測量單位分別為英噸和英寸。將此筆資料的相關係數記為 $r$，以最小平方法決定的直線斜率記為 $m$。現單位換算為公噸（$1$ 英噸 $= 1.016$ 公噸）及公分（$1$ 英寸 $= 2.54$ 公分），若單位換算後該資料的相關係數記為 $R$，以最小平方法決定的直線斜率記為 $M$。下列關係有哪些是正確的？

Accepted Answer

答案：(1)(3)
從數據觀察：負重增加，柱高遞減 → 負相關，$r  0$：錯誤，$r < 0$。❌
$(3)$ $r = R$：相關係數不受線性單位轉換影響。✅
$(4)$ $m = M$：斜率受單位轉換影響。
$$M = m 	imes \frac{2.54}{1.016} 
eq m$$ ❌

答案為 $(1)(3)$。