93指考數學甲補考多選第9題詳解

因 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ 是轉移矩陣，且每行之和皆為 $1$，所以 $$b=1-a,\ d=1-c.$$ 由 $A^2=\begin{bmatrix}\frac{5}{9}&\frac{4}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{5}{9}\end{bmatrix}$，比較非對角元素可得 $$(1-a)(a+1-c)=\frac{4}{9},$$ $$c(a+1-c)=\frac{4}{9}.$$ 因右邊不為 $0$，故 $1-a=c$，也就是 $b=c$，且 $d=a$。 再由非對角元素 $$2a(1-a)=\frac{4}{9},$$ 得 $$9a^2-9a+2=0,$$ 所以 $a=\dfrac{1}{3}$ 或 $a=\dfrac{2}{3}$。 $(1)$ 若 $a=\dfrac{1}{3}$，則 $d=a=\dfrac{1}{3}$，正確。 $(2)$ 若 $a=\dfrac{2}{3}$，則 $d=a=\dfrac{2}{3}\ne\dfrac{1}{2}$，錯誤。 $(3)$ 因 $b=c=1-a$、$d=a$， $$ad-bc=a^2-(1-a)^2=2a-1.$$ 當 $a=\dfrac{1}{3}$ 時，$ad-bc=-\dfrac{1}{3}<0$，故不一定大於 $0$，錯誤。 $(4)$ 上面已得 $b=c$，正確。 故答案為 $(1)(4)$。