93 指考數學甲補考第 9 題

Question

假設 $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$ 是一個轉移矩陣（即每行之和皆為 $1$），且 $A^2 = \begin{bmatrix} \frac{5}{9} & \frac{4}{9} \ \frac{4}{9} & \frac{5}{9} \end{bmatrix}$。請選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：(1)(3)(4)
A 是轉移矩陣：$a + c = 1$，$b + d = 1$。

$A^2$ 為對稱矩陣且對角元素相等，可推得 $A$ 本身也是對稱的，即 $b = c$。
由 $a + b = 1$ 且 $d + b = 1$，得 $a = d$。

$(1)$ 若 $a = \frac{1}{3}$，則 $d = a = \frac{1}{3}$。✅
$(2)$ 若 $a = \frac{2}{3}$，則 $d = \frac{2}{3} 
eq \frac{1}{2}$。❌
$(3)$ $ad - bc = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = (a-b) \cdot 1$。
由 $A^…