112學測數學A多選第9題詳解

1. 因為 $a_1=3$，公比 $r=3\sqrt{3}=3^{\frac{3}{2}}$，所以 $$a_i=3\cdot(3^{\frac{3}{2}})^{i-1}=3^{1+\frac{3}{2}(i-1)}.$$ 因此 $$\log_3 a_i=1+\frac{3}{2}(i-1)=\frac{3i-1}{2}.$$ 2. 交錯和 $$S_n=\log_3 a_1-\log_3 a_2+\log_3 a_3-\cdots+(-1)^{n+1}\log_3 a_n.$$ 3. 分兩種情況： - 若 $n=2m$（偶數）：每兩項一組，$(\log_3 a_{2k-1}-\log_3 a_{2k})=\frac{6k-4-(6k-1)}{2}=-\frac{3}{2}$。 共 $m$ 組，所以 $S_{2m}=-\frac{3m}{2}$。 - 若 $n=2m-1$（奇數）：$S_{2m-1}=S_{2m}-(-1)^{2m+1}\log_3 a_{2m}=-\frac{3m}{2}+\frac{6m-1}{2}=\frac{3m-1}{2}$。 4. 代入各選項檢查： $(1)$ 錯誤：$n=1$ 時 $S_1=\log_3 a_1=\log_3 3=1$，不是 $\frac{3}{2}$。 $(2)$ 錯誤：$n=2$ 時 $S_2=\log_3 a_1-\log_3 a_2=1-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$，不是 $\frac{3}{2}$。 $(3)$ 正確：$n=3$ 時 $S_3=S_2+\log_3 a_3=-\frac{3}{2}+\frac{8}{2}=\frac{5}{2}>2$。 $(4)$ 錯誤：$n=4$ 時 $S_4=-\frac{3\cdot2}{2}=-3$，不是 $\frac{3}{2}$。 $(5)$ 正確：偶數項 $S_{2m}=-\frac{3m}{2}$，無上界且隨 $m$ 增大而趨向 $-\infty$，所以不存在實數 $k$ 使 $S_n>k$ 對所有 $n$ 恆成立。 故選 $(3)(5)$。