圓 $C_1: x^2+y^2=1$，圓心 $O_1(0,0)$，$r_1=1$。 圓 $C_2: (x-4)^2+y^2=9$，圓心 $O_2(4,0)$，$r_2=3$。 $\overline{O_1O_2}=4=r_1+r_2$，兩圓外切於 $(1,0)$。 $(4)$ $x=1$ 為過切點且垂直連心線的內公切線。✅ 外公切線：設直線 $ax+by=1$，距 $O_1$ 為 $\frac{|a\cdot0+b\cdot0-1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1$，得 $a^2+b^2=1$。 距 $O_2$ 為 $\frac{|4a-1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3$，得 $|4a-1|=3$。 解得 $a=1$（$b=0$，非有效外公切線）或 $a=-\frac{1}{2}$。 $a=-\frac{1}{2}$ 時 $b=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$。 其中一個解對應選項 $(1)$。 答案為 $(1)(4)$。