93指考數學甲補考多選第5題詳解

圓 $C_1:x^2+y^2=1$ 的圓心為 $O_1(0,0)$，半徑 $r_1=1$；圓 $C_2:(x-4)^2+y^2=9$ 的圓心為 $O_2(4,0)$，半徑 $r_2=3$。 因 $\overline{O_1O_2}=4=r_1+r_2$，兩圓外切於 $(1,0)$，所以 $x=1$ 是兩圓在切點處的公切線，$(4)$ 正確。 其餘選項用點到直線距離判斷。公切線必須到 $O_1$ 的距離為 $1$，且到 $O_2$ 的距離為 $3$。 $(1)$ $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}y=1$：到 $O_1$ 的距離為 $1$，到 $O_2$ 的距離為 $\left|-2\sqrt{2}-1\right|\ne3$，故不是公切線。 $(2)$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{1}{2}y=1$：到 $O_1$ 的距離為 $1$，到 $O_2$ 的距離為 $\left|-2\sqrt{3}-1\right|\ne3$，故不是公切線。 $(3)$ $-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y=1$：到 $O_1$ 的距離為 $1$，到 $O_2$ 的距離為 $|-2-1|=3$，故是公切線。 故答案為 $(3)(4)$。