93指考數學甲補考選填第10題詳解

設 $P=(\sqrt{n+5},\sqrt{n-1})$，$Q=(\sqrt{n-1},\sqrt{n+5})$。 點 $P$ 到直線 $y-x=0$ 的距離為 $$d_n=\frac{|\sqrt{n-1}-\sqrt{n+5}|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}(\sqrt{n+5}+\sqrt{n-1})}.$$ 因此 $$\lim\limits_{n\to\infty}d_n=0.$$ $\triangle OPQ$ 的面積為 $$a_n=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}\sqrt{n+5}&\sqrt{n-1}\\\sqrt{n-1}&\sqrt{n+5}\end{pmatrix}\right|$$ $$=\frac{1}{2}|(n+5)-(n-1)|=3.$$ 所以 $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=3.$$ 答案為 $0,\ 3$。