112學測數學B選填第16題詳解

1. 取紙張左下角 $O$ 為原點、左邊界為 $y$ 軸、下邊界為 $x$ 軸。因為 $P$ 距左邊界 $6$ 公分、距下邊界 $8$ 公分，所以 $P$ 的坐標為 $(6,8)$。 2. 因為摺紙是把 $O$ 沿摺線翻到 $P$，摺線上的每一點到 $O$ 與到 $P$ 的距離相等，所以摺線就是 $\overline{OP}$ 的垂直平分線。 3. 設摺線上一點為 $(x,y)$，由等距條件得 $$x^2+y^2=(x-6)^2+(y-8)^2.$$ 4. 展開並消去 $x^2$、$y^2$，所以 $0=-12x+36-16y+64$，整理得 $12x+16y=100$，即 $$3x+4y=25.$$ 5. 因為摺進去的三角形是由這條摺線與兩邊界（兩坐標軸）圍成，先求兩個截距：令 $y=0$ 得 $x=\frac{25}{3}$；令 $x=0$ 得 $y=\frac{25}{4}$。 6. 因為兩股互相垂直，所以面積為 $$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{25}{3}\times\dfrac{25}{4}=\dfrac{625}{24}.$$ 故摺進去的三角形面積為 $\frac{625}{24}$ 平方公分。