109指考數學乙補考單選第2題詳解

1. 求 $A$ 點：解 $L$ 與 $L_1$ 的交點。 因為 $L: 2x + y = 3$ 即 $y = 3 - 2x$，代入 $L_1: 5x + 3y = 5$： $$5x + 3(3 - 2x) = 5 \implies 5x + 9 - 6x = 5 \implies -x = -4 \implies x = 4$$ 因為 $y = 3 - 2 \times 4 = -5$，所以 $A(4, -5)$。 2. 求 $B$ 點：解 $L$ 與 $L_2$ 的交點。 因為將 $y = 3 - 2x$ 代入 $L_2: 3x + 2y = 6 - 2a$： $$3x + 2(3 - 2x) = 6 - 2a \implies 3x + 6 - 4x = 6 - 2a \implies -x = -2a \implies x = 2a$$ 因為 $y = 3 - 2 \times 2a = 3 - 4a$，所以 $B(2a, 3 - 4a)$。 3. 因為 $O(0,0)$、$A(4,-5)$、$B(2a, 3-4a)$，所以 $\triangle OAB$ 的面積為： $$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\left| x_A y_B - x_B y_A \right| \\ &= \frac{1}{2}\left| 4 \times (3-4a) - 2a \times (-5) \right| \\ &= \frac{1}{2}\left| 12 - 16a + 10a \right| \\ &= \frac{1}{2}\left| 12 - 6a \right| = 3|a - 2| \end{aligned}$$ 故選 $(4)$。