114學測數學B選填第14題詳解

$A(0,2)$，$B(-1,0)$，$C(4,0)$。直線 $y=mx$（$m>0$）將 $\triangle ABC$ 分成面積相等的兩部分。 1. $\triangle ABC$ 以 $\overline{BC}$ 為底，$\overline{BC}=5$，高為 $A$ 的 $y$ 坐標 $2$，所以面積為 $\frac{1}{2}\times5\times2=5$。 2. 直線 $y=mx$ 通過原點 $O(0,0)$。直線 $AC$ 的方程式：通過 $A(0,2)$ 和 $C(4,0)$，斜率為 $-\frac{1}{2}$，方程式為 $y=2-\frac{x}{2}$。 3. 求直線 $y=mx$ 與 $AC$ 的交點 $P$： $$mx=2-\frac{x}{2}\;\implies\;x\left(m+\frac{1}{2}\right)=2\;\implies\;x_P=\frac{2}{m+\frac{1}{2}},\; y_P=mx_P.$$ 4. $y=mx$ 將 $\triangle ABC$ 分成兩部分：右側為 $\triangle OCP$（以 $\overline{OC}=4$ 為底，高為 $y_P$），面積為 $\frac{1}{2}\times4\times y_P=2y_P$。令其等於 $\triangle ABC$ 面積的一半 $\frac{5}{2}$： $$2y_P=\frac{5}{2}\;\implies\;y_P=\frac{5}{4}.$$ 5. 因為 $y_P=mx_P$ 且 $x_P=\frac{y_P}{m}$，由 $x_P$ 的表達式： $$\frac{5}{4m}=\frac{2}{m+\frac{1}{2}}\;\implies\;5\left(m+\frac{1}{2}\right)=8m\;\implies\;5m+\frac{5}{2}=8m\;\implies\;3m=\frac{5}{2}\;\implies\;m=\frac{5}{6}.$$ 故填 $\frac{5}{6}$。