112學測數學B選填第15題詳解

Question

如圖所示，平面上有一點 $P_0$ 先朝某方向 前進 $2$ 個單位長到達點 $P_1$ 後，依前進方向左轉 $15^\circ$，朝新方向前進 $2$ 個單位長到達點 $P_2$ 後，然後再依前進方向左轉 $15^\circ$，再朝新方向前進 $2$ 個單位長 到達點 $P_3$，依此類推。則向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{P_2P_3}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{P_5P_6}$ 的內積為 ____。（化為最簡根式）

Accepted Answer

答案：$2\sqrt2$
因為每走一段左轉 $15^\circ$，所以第 $n$ 段的方向角比第一段多 $15^\circ	imes(n-1)$。 $\overrightarrow{P_2P_3}$ 是第 $3$ 段、$\overrightarrow{P_5P_6}$ 是第 $6$ 段，兩者相差 $3$ 段，所以夾角為 $15^\circ	imes(6-3)=45^\circ$。 因為每段長度皆為 $2$，所以內積為 $2	imes2	imes\cos45^\circ=4	imes\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。 故填 $2\sqrt{2}$。

112學測數學B選填第15題詳解

答案與本題考點

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