93 指考數學乙補考第 4 題

Question

給定三次方程式 $(x-4)(x-6)(x-8) + (x-5)(x-7)(x-9) = 0$，試問下列哪兩個正整數之間有這方程式的實根？

Accepted Answer

答案：(1)(3)(5)
令 $f(x) = (x-4)(x-6)(x-8) + (x-5)(x-7)(x-9)$。

計算各整數點的函數值：
$$\begin{aligned}
f(4) &= 0 + (-1)(-3)(-5) = -15  0 \
f(6) &= (2)(0)(-2) + (1)(-1)(-3) = 3 > 0 \
f(7) &= (3)(1)(-1) + (2)(0)(-2) = -3  0
\end{aligned}$$

由勘根定理，$f(x)$ 在區間 $(4,5)$、$(6,7)$、$(8,9)$ 各有一次符號變化，故各有一實根。

答案為 $(1)(3)(5)$。