93指考數學乙補考多選第5題詳解

「$72$ 規則」表示：若年成長率為 $r\%$，則在 $\dfrac{72}{r}$ 年時，經濟規模應已達到兩倍。因題目說「最少時間約為 $\dfrac{72}{r}$ 年」，所以不能只看是否接近 $2$，也要確認此時已達兩倍。 取對數後，需比較 $$\dfrac{72}{r}\log\left(1+\dfrac{r}{100}\right)$$ 與 $$\log 2 = 0.3010.$$ 逐項檢驗： $(1)$ $r=9$：$8\times 0.0374 = 0.2992 < 0.3010$，尚未達兩倍，不合。 $(2)$ $r=8$：$9\times 0.0334 = 0.3006 < 0.3010$，尚未達兩倍，不合。 $(3)$ $r=6$：$12\times 0.0253 = 0.3036 > 0.3010$，已達兩倍，且接近，合。 $(4)$ $r=4$：$18\times 0.0170 = 0.3060 > 0.3010$，已達兩倍，且接近，合。 $(5)$ $r=3$：$24\times 0.0128 = 0.3072 > 0.3010$，已達兩倍，且接近，合。 故符合此規則的年成長率為 $6\%,4\%,3\%$，選 $(3)(4)(5)$。