93指考數學乙補考選填第11題詳解

令正三角形 $ABC$ 的邊長 $\overline{AB}=1$，取坐標 $$B=(0,0),\ C=(1,0),\ A=(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}).$$ 由 $\overline{AA_1}:\overline{A_1B}=1:9$，可得 $$A_1=\dfrac{9A+B}{10}=(\dfrac{9}{20},\dfrac{9\sqrt3}{20}).$$ 由 $\overline{BB_1}:\overline{B_1C}=1:9$，可得 $$B_1=\dfrac{9B+C}{10}=(\dfrac{1}{10},0).$$ 因此 $$\begin{aligned} \overline{A_1B_1}^{\,2} &= (\dfrac{9}{20}-\dfrac{1}{10})^2+(\dfrac{9\sqrt3}{20})^2\\ &=(\dfrac{7}{20})^2+\dfrac{243}{400}\\ &=\dfrac{49}{400}+\dfrac{243}{400}=\dfrac{73}{100}. \end{aligned}$$ 又 $\overline{AB}=1$，所以 $$\dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{AB}}=\sqrt{\dfrac{73}{100}}=\dfrac{\sqrt{73}}{10}.$$