**$(1)$** $$N^2 = (10k+5)^2 = 100k^2 + 100k + 25 = 100k(k+1) + 25$$ 因此 $N^2$ 除以 $100$： - 商 $= k(k+1)$ - 餘數 $= 25$ **$(2)$** $N^2 = 100 \cdot k(k+1) + 25$。 $k(k+1)$ 為連續兩整數之積，必為偶數（因 $k$ 和 $k+1$ 必有一為偶數）。 令 $k(k+1) = 2m$（$m$ 為整數），則： $$N^2 = 100 \cdot 2m + 25 = 200m + 25$$ 觀察 $200m$ 的百位數字：$200m = 2m \times 100$。 當 $m < 5$ 時有進位問題，但 $200m$ 的百位數字即 $2m \bmod 10$？實際上 $200m = (2m) \times 100$，其百位數字為 $2m$ 的個位數，恆為偶數。 加上 $25$ 不影響百位數字（$25 < 100$）。 因此 $N^2$ 的百位數字必為偶數。得證。