93 指考數學乙補考第 13 題

Question

在 $1766$ 年，天文學家波德提出有名的「波德法則」：行星與太陽的平均距離 $d$（天文單位）可以用數學式子 $d = \alpha + \beta \cdot 2^n$ 表示。行星所對應的 $n$ 值如下表：金星 $n=0$，地球 $n=1$，火星 $n=2$，木星 $n=4$，土星 $n=5$，天王星 $n=6$。
$(1)$ 設金星與太陽的平均距離為 $d_{	ext{金}}$，請以 $\alpha$ 及 $\beta$ 表示 $d_{	ext{金}}$。（$2$ 分）
$(2)$ 若 $d_{	ext{金}}$ 為 $0.7$ 天文單位，且火星與太陽的平均距離比金星與太陽的平均距離多 $0.9$（天文單位），請求出 $\alpha$ 及 $\beta$。（$8$ 分）
$(3)$ 承上題，請求出地球與太陽的平均距離。（$2$ 分）

Accepted Answer

答案：(1) d金=α+β (2) α=0.4, β=0.3 (3) 1.0
**$(1)$** 金星 $n=0$：
$$d_{	ext{金}} = \alpha + \beta \cdot 2^0 = \alpha + \beta$$

**$(2)$** 已知 $d_{	ext{金}} = 0.7$：
$$\alpha + \beta = 0.7 \  \cdots (1)$$

火星 $n=2$：$d_{	ext{火}} = \alpha + \beta \cdot 2^2 = \alpha + 4\beta$。
火星比金星多 $0.9$：
$$(\alpha + 4\beta) - (\alpha + \beta) = 3\beta = 0.9 \impl…