給定方程式 $x \cdot 3^x = 3^{18}$，其中 $x > 0$。 設函數 $f(x) = x \cdot 3^x$。由於 $x$ 與 $3^x$ 均為 $x > 0$ 時的嚴格單調遞增函數，故其乘積 $f(x)$ 亦為嚴格單調遞增函數。 我們代入相鄰的正整數來估計方程式解的範圍： 1. 將方程式右式 $3^{18}$ 展開整理： $$3^{18} = 3^3 \times 3^{15} = 27 \times 3^{15}$$ $$3^{18} = 3^2 \times 3^{16} = 9 \times 3^{16}$$ 2. 計算 $f(15)$： $$f(15) = 15 \times 3^{15}$$ 比較可知 $f(15) < 27 \times 3^{15} = 3^{18}$。 3. 計算 $f(16)$： $$f(16) = 16 \times 3^{16} = 16 \times 3 \times 3^{15} = 48 \times 3^{15}$$ 比較可知 $f(16) > 27 \times 3^{15} = 3^{18}$。 由於 $f(15) < 3^{18} < f(16)$，且 $f(x)$ 具有單調性，故滿足方程式的唯一正實數解 $x$ 必滿足： $$15 < x < 16$$ 對照題目「落在連續正整數 $k$ 與 $k+1$ 之間」，得： $$k = 15$$