94指考數學甲多選第6題詳解

球的方程式為 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$，其球心為 $O(0,0,0)$，半徑 $R = 2$。 計算 $P(1, -2, 1)$ 與 $Q(-1, 2, -1)$ 到球心的距離： $$\overline{OP} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6} > 2$$ $$\overline{OQ} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} > 2$$ 因為 $\overline{OP} = \overline{OQ} = \sqrt{6} > R$，故 $P, Q$ 兩點均在球面之外。 觀察 $P, Q$ 坐標關係可知：$Q = -P$。這代表球心 $O(0,0,0)$ 正好是線段 $\overline{PQ}$ 的中點。 因此，直線 $PQ$ 必定通過球心 $O$。 $(4)$ 對：直線 $PQ$ 通過球心。 $(3)$ 錯：直線 $PQ$ 與球面交於兩點，而非相切。 $(1)$ 與 (2) 對：因為線段 $\overline{PQ}$ 的中點是球心 $O$（在球內），而兩端點 $P, Q$ 都在球外，所以線段 $\overline{PQ}$ 必然貫穿球面，與球面交於兩個相異點。同理，包含此線段的直線 $PQ$ 也與球面交於兩點。 故選 $(1)(2)(4)$。