96指考數學乙非選第12題詳解

將等式右側的因式分解展開： \begin{aligned} (x+a)^2(x+b) &= (x^2 + 2ax + a^2)(x+b)\\ &= x^3 + (2a+b)x^2 + (a^2+2ab)x + a^2b \end{aligned} 與左側的多項式 $x^3 + rx + s$ 進行係數比較，可得聯立關係式： 1. $x^2$ 項係數： $$2a + b = 0 \implies b = -2a \;\text{（式1）}$$ 2. $x$ 項係數： $$a^2 + 2ab = r \;\text{（式2）}$$ 3. 常數項： $$a^2b = s \;\text{（式3）}$$ 將（式1）代入（式2）與（式3）中： - 代入（式2）： $$a^2 + 2a(-2a) = r \implies -3a^2 = r \implies a^2 = -\frac{r}{3} \;\text{（式4）}$$ - 代入（式3）： $$a^2(-2a) = s \implies -2a^3 = s \implies a^3 = -\frac{s}{2} \;\text{（式5）}$$ 論證 $a$ 與 $r$ 不為 $0$： 已知 $a, b$ 為相異實數（$a \neq b$）。 若 $a = 0$，由（式1）可得 $b = -2(0) = 0$，此時 $a = b = 0$，與已知條件矛盾，故： $$a \neq 0$$ 由此可知 $a^2 \neq 0$，再由（式4）可知： $$r \neq 0$$ 證明 $a, b$ 為有理數： 因為 $a \neq 0$，我們可以將 $a$ 表示為： $$a = \frac{a^3}{a^2}$$ 將（式4）與（式5）代入上式中： $$a = \frac{-\frac{s}{2}}{-\frac{r}{3}} = \frac{3s}{2r}$$ 因為 $r, s$ 為整數且 $r \neq 0$，所以 $\frac{3s}{2r}$ 必然是有理數。故 $a$ 是有理數。 再由（式1）可知 $b = -2a$，因為有理數在乘法下具有封閉性，所以 $b$ 也必然是有理數。 得證 $a, b$ 都是有理數。