106指考數學乙單選第1題詳解

1. 因為 $f(1)=f(2)=0$，所以由因式定理知 $(x-1)$ 與 $(x-2)$ 為 $f(x)$ 的因式。 2. 因為 $f(x)$ 為三次多項式且 $x^3$ 的係數為 $1$，所以可設 $$f(x)=(x-1)(x-2)(x+k)$$ 3. 代入 $f(3)=4$： $$f(3)=(3-1)(3-2)(3+k)=2\times 1\times(3+k)=2(3+k)=4$$ 解得 $3+k=2$，即 $k=-1$。 4. 因此 $$f(x)=(x-1)(x-2)(x-1)=(x-1)^2(x-2)$$ 展開：$(x^2-2x+1)(x-2)=x^3-2x^2-2x^2+4x+x-2=x^3-4x^2+5x-2$。 5. 對照係數得 $a=-4$、$b=5$、$c=-2$，所以 $a+2b+c=-4+10-2=4$。 故選 $(4)$。