106指考數學乙單選第2題詳解

1. 將各選項的對數底數統一換為 $2$： 選項 $(1)$：$\log_2 3$。 選項 $(2)$：$\log_4 6=\log_{2^2}6=\frac{1}{2}\log_2 6=\log_2 6^{\frac{1}{2}}=\log_2\sqrt{6}$。 選項 $(3)$：$\log_8 12=\log_{2^3}12=\frac{1}{3}\log_2 12=\log_2 12^{\frac{1}{3}}$。 選項 $(4)$：$\log_{16}24=\log_{2^4}24=\frac{1}{4}\log_2 24=\log_2 24^{\frac{1}{4}}$。 選項 $(5)$：$\log_{32}48=\log_{2^5}48=\frac{1}{5}\log_2 48=\log_2 48^{\frac{1}{5}}$。 2. 因為以 $2$ 為底的對數函數為遞增函數，所以比較各選項的值等價於比較真數的大小，即比較 $3,\sqrt{6},12^{\frac{1}{3}},24^{\frac{1}{4}},48^{\frac{1}{5}}$。 3. 觀察規律：每個選項可寫為 $\log_{2^n}(3\cdot 2^{n-1})=\frac{\log_2 3+n-1}{n}=1+\frac{\log_2 3-1}{n}$。 因為 $\log_2 3>1$，所以 $\frac{\log_2 3-1}{n}>0$，且此值隨 $n$ 增大而遞減。因此 $n=1$（即選項 $(1)$）時值最大。 故選 $(1)$。