97指考數學乙單選第2題詳解

設三角形的其中兩邊由起點 $O$ 出發，分別以向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{b}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{a}$ 表示，即： $$\overset{\large\rightharpoonup}{OA} = \overset{\large\rightharpoonup}{b},\ \overset{\large\rightharpoonup}{OB} = \overset{\large\rightharpoonup}{a}$$ 第三邊為連結 $A, B$ 兩點的線段，其向量為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = \overset{\large\rightharpoonup}{OB} - \overset{\large\rightharpoonup}{OA} = \overset{\large\rightharpoonup}{a} - \overset{\large\rightharpoonup}{b}$$ 設 $M$ 為 $\overline{OA}$ 的中點，$N$ 為 $\overline{OB}$ 的中點，則： $$\overset{\large\rightharpoonup}{OM} = \dfrac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{b},\ \overset{\large\rightharpoonup}{ON} = \dfrac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{a}$$ 中點連線段對應的向量為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{MN} = \overset{\large\rightharpoonup}{ON} - \overset{\large\rightharpoonup}{OM} = \dfrac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{a} - \dfrac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{b}$$ 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{MN} = \frac{1}{2}(\overset{\large\rightharpoonup}{a} - \overset{\large\rightharpoonup}{b}) = \frac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$，所以中點連線段與第三邊平行，且長度為第三邊之半。 故選 $(2)$。