98學測數學多選第11題詳解

以 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB},\overset{\large\rightharpoonup}{AD},\overset{\large\rightharpoonup}{AE}$ 為互相垂直且長度為 $2$ 的基底，取 $A$ 為原點。$K=(\frac12,\frac12,0)$，$M=(1,0,\frac12)$，$N=(\frac12,0,1)$，因此 $$ \overset{\large\rightharpoonup}{KM}=\frac12\overset{\large\rightharpoonup}{AB}-\frac12\overset{\large\rightharpoonup}{AD}+\frac12\overset{\large\rightharpoonup}{AE}。 $$ $(1)$ 上式正確。 $(2)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{KM}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=\frac12\overline{AB}^{,2}=2\ne1$，錯誤。 $(3)$ $\overline{KM}=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\ne3$，錯誤。 $(4)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{MK}=(-\frac12,\frac12,-\frac12)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{MN}=(-\frac12,0,\frac12)$，且 $\overset{\large\rightharpoonup}{MK}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{MN}=0$，所以三角形 $KMN$ 為直角三角形，正確。 $(5)$ 三角形 $KMN$ 的面積為 $\frac12\overline{MK}\,\overline{MN}=\frac{\sqrt{6}}{2}\ne\frac{\sqrt{10}}{2}$，錯誤。 因為成立的選項為 $(1)(4)$，所以選 $(1)(4)$。