100學測數學多選第12題詳解

球面 $S$ 的球心為 $(1,2,3)$，半徑平方為 $14$。 選項 $(1)$ 原點在球面 $S$ 上。原點到球心距離平方為 $1^2 + 2^2 + 3^2 = 14$，等於半徑平方，所以原點在球面上，$(1)$ 正確。 選項 $(2)$ $A(1,0,0)$ 在球面 $S$ 之外部。$A$ 到球心距離平方為 $(1-1)^2 + 2^2 + 3^2 = 13 < 14$，所以 $A$ 在球內部，非外部，$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$ 線段 $\overline{AB}$ 與球面 $S$ 相交。$B(-1,0,0)$ 到球心距離平方為 $(-1-1)^2 + 2^2 + 3^2 = 4 + 4 + 9 = 17 > 14$，所以 $B$ 在球外部。因為 $A$ 在球內部、$B$ 在球外部，所以線段 $\overline{AB}$ 必與球面相交，$(3)$ 正確。 選項 $(4)$ $A$ 為直線 $AB$ 上距離球心最近的點。直線 $AB$ 即 $x$ 軸，點 $(t,0,0)$ 到球心的距離平方為 $(t-1)^2 + 13$，在 $t=1$ 時取最小值，即 $A(1,0,0)$。所以 $(4)$ 正確。 選項 $(5)$ 球面 $S$ 與三個坐標平面截出的圓中，以與 $xy$ 平面所截的圓面積最大。球心到 $xy$、$yz$、$xz$ 平面的距離分別為 $3$、$1$、$2$，截圓半徑平方分別為 $14 - 9 = 5$、$14 - 1 = 13$、$14 - 4 = 10$，最大者為 $13$（與 $yz$ 平面所截），非 $xy$ 平面。所以 $(5)$ 錯誤。 故選 $(1)$(3)$(4)$。