100學測數學多選第11題詳解

直線 $L$ 與圓 $C$（圓心在原點、半徑 $2$）相交，等價於 $L$ 到原點的距離不大於 $2$。 選項 $(1)$ $L$ 一定與 $x$ 軸相交。取 $L: y = 1$，與圓 $C$ 相交（距離 $1 < 2$），但 $y=1$ 與 $x$ 軸平行，永不相交。所以 $(1)$ 不一定。 選項 $(2)$ $L$ 一定與 $y = (\frac{1}{2})^x$ 相交。取 $L: y = -1$，與圓 $C$ 相交，但 $(\frac{1}{2})^x > 0$ 恆正，$y = -1$ 不與之交。所以 $(2)$ 不一定。 選項 $(3)$ $L$ 一定與圓 $x^2 + y^2 = 3$ 相交。此圓半徑 $\sqrt{3} \approx 732$；取 $L$ 到原點距離為 $9$（仍與圓 $C$ 相交），則 $L$ 與此小圓不相交。所以 $(3)$ 不一定。 選項 $(4)$ $L$ 一定與圓 $(x-2)^2 + y^2 = 16$ 相交。圓心 $(2,0)$、半徑 $4$。對於平面上任一直線 $L$，$L$ 到 $(2,0)$ 的距離 $\le$ 到 $(0,0)$ 的距離 $+ 2 \le 2 + 2 = 4$，等號僅在特定情況下成立，一般情況下 $L$ 到此大圓圓心的距離不超過 $4$（即半徑），故 $L$ 必與此圓相交。$(4)$ 一定。 選項 $(5)$ $L$ 一定與橢圓 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 相交。橢圓半軸長 $3$（$x$ 方向）及 $2$（$y$ 方向），圓 $C$ 半徑 $2$。取 $L: x = 2$，與圓 $C$ 切於 $(2,0)$，代入橢圓：$\frac{4}{9} + \frac{0}{4} = \frac{4}{9} < 1$，$(2,0)$ 在橢圓內部，所以 $L$ 與橢圓相交。但 $L$ 到原點的距離為 $2$，即 $L$ 只與圓 $C$ 相交於一點。一般情形下，若 $L$ 與圓 $C$ 相交，則 $L$ 到原點距離 $\le 2$，而橢圓半短軸為 $2$（$y$ 方向），半長軸為 $3$（$x$ 方向），$L$ 到原點距離 $\le 2$ 保證了 $L$ 與橢圓一定相交（因為橢圓包含半徑 $2$ 的圓）。$(5)$ 一定。 故選 $(4)(5)$。