115分科測驗數學甲選填第10題詳解

1. 因為圓 $C$ 的圓心在 $x$ 軸上，所以可設圓心為 $(h,0)$、半徑為 $r$（其中 $r>0$）。 2. 因為 $L_1$ 可寫成 $4x-3y=0$、$L_2$ 可寫成 $3x+4y=0$，所以圓心到兩直線的距離依序為 $\frac{|4h|}{5}$ 與 $\frac{|3h|}{5}$。 3. 因為圓 $C$ 與兩直線皆不相交，所以這兩個距離都大於 $r$；此時圓上的點到直線的最短距離等於圓心到直線的距離減去半徑，得 $d_1=\frac{4|h|}{5}-r$、$d_2=\frac{3|h|}{5}-r$。 4. 因為 $d_1=3d_2$，所以 $\frac{4|h|}{5}-r=3\left(\frac{3|h|}{5}-r\right)$，展開得 $\frac{4|h|}{5}-r=\frac{9|h|}{5}-3r$，整理得 $|h|=2r$，記為（式1）。 5. 設過原點且與圓 $C$ 相切的直線為 $y=kx$，即 $kx-y=0$。因為相切表示圓心到此直線的距離等於半徑，所以 $\frac{|kh|}{\sqrt{k^2+1}}=r$。 6. 把（式1）代入，得 $\frac{2r|k|}{\sqrt{k^2+1}}=r$。因為 $r>0$ 可以約去，所以 $2|k|=\sqrt{k^2+1}$，兩邊平方得 $4k^2=k^2+1$，解得 $k^2=\frac{1}{3}$。 7. 開方後分母有理化，得 $k=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$；又因為此時圓心到原點的距離 $|h|=2r>r$，原點確實在圓外，兩條切線都存在。 故斜率為 $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。