115分科測驗數學甲選填第11題詳解

1. 因為骰子點數大於 $4$ 點指的是 $5$ 點或 $6$ 點，所以每次成功的機率為 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$X$ 為投擲 $5$ 次、每次成功機率 $\frac{1}{3}$ 的二項分布。 2. 因為進入第二階段的條件是 $X\ge 3$，所以只需考慮 $X=3,4,5$ 三種情形： $$P(X=3)=C^5_3\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{40}{243},\; P(X=4)=C^5_4\left(\dfrac{1}{3}\right)^4\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{10}{243},\; P(X=5)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^5=\dfrac{1}{243}.$$ 3. 因為第二階段出現偶數點的機率為 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，所以 $Y$ 為投擲 $5$ 次、每次成功機率 $\frac{1}{2}$ 的二項分布，得 $P(Y=k)=\frac{C^5_k}{32}$。 4. 因為獲獎條件是 $Y=X-1$，所以對應的機率依序為 $P(Y=2)=\frac{10}{32}$、$P(Y=3)=\frac{10}{32}$、$P(Y=4)=\frac{5}{32}$。 5. 令 $W$ 為「獲獎」事件。因為兩階段的投擲互相獨立，所以 $$P(W)=\dfrac{40}{243}\cdot\dfrac{10}{32}+\dfrac{10}{243}\cdot\dfrac{10}{32}+\dfrac{1}{243}\cdot\dfrac{5}{32}=\dfrac{400+100+5}{243\cdot 32}=\dfrac{505}{243\cdot 32}.$$ 6. 因為 $X=3$ 且獲獎的機率為 $\frac{40}{243}\cdot\frac{10}{32}=\frac{400}{243\cdot 32}$，所以由條件機率定義得 $$P(X=3\mid W)=\dfrac{\;\dfrac{400}{243\cdot 32}\;}{\dfrac{505}{243\cdot 32}}=\dfrac{400}{505}=\dfrac{80}{101}.$$ 故填 $\frac{80}{101}$。