115分科測驗數學乙單選第4題詳解

因為圓心對直線 $L:y=x$ 的對稱點為 $(5,3)$， 而點 $(a,b)$ 對 $y=x$ 的對稱點為 $(b,a)$， 所以圓心坐標為 $(3,5)$。 因為圓 $\Gamma$ 與 $y=x$ 相切，所以半徑等於圓心到直線的距離： $$r = \frac{|3-5|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.$$ 因此圓 $\Gamma$ 的方程式為 $$(x-3)^2+(y-5)^2 = 2.$$ 故選 $(4)$。