100學測數學多選第10題詳解

因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}| = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = 3$，且 $\overset{\large\rightharpoonup}{w} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 且 $|\overset{\large\rightharpoonup}{w}| = 3$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 為將 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 旋轉 $\pm 90^\circ$ 所得的向量，即 $\overset{\large\rightharpoonup}{w} = (\sqrt{5}, -2)$ 或 $(-\sqrt{5}, 2)$。 選項 $(1)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 必為 $(\sqrt{5},-2)$ 或 $(-\sqrt{5},2)$。由上述推導，$(1)$ 正確。 選項 $(2)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{v}+\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}-\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 的長度相等。因為 $$|\overset{\large\rightharpoonup}{v}+\overset{\large\rightharpoonup}{w}|^2 = |\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2 + |\overset{\large\rightharpoonup}{w}|^2 + 2\overset{\large\rightharpoonup}{v}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{w} = 9 + 9 + 0 = 18,$$ $$|\overset{\large\rightharpoonup}{v}-\overset{\large\rightharpoonup}{w}|^2 = |\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2 + |\overset{\large\rightharpoonup}{w}|^2 - 2\overset{\large\rightharpoonup}{v}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{w} = 9 + 9 - 0 = 18,$$ 所以兩者長度皆為 $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，$(2)$ 正確。 選項 $(3)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{v}+\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}-\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 的內積為 $0$。因為 $(\overset{\large\rightharpoonup}{v}+\overset{\large\rightharpoonup}{w})\cdot(\overset{\large\rightharpoonup}{v}-\overset{\large\rightharpoonup}{w}) = |\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2 - |\overset{\large\rightharpoonup}{w}|^2 = 9 - 9 = 0$，所以 $(3)$ 正確。 選項 $(4)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{u} = a\overset{\large\rightharpoonup}{v} + b\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 的長度等於 $\sqrt{a^2+b^2}$。因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}| = \sqrt{9a^2 + 9b^2} = 3\sqrt{a^2+b^2}$，而不是 $\sqrt{a^2+b^2}$，所以 $(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$ 若 $(1,0) = c\overset{\large\rightharpoonup}{v} + d\overset{\large\rightharpoonup}{w}$，則 $c > 0$。因為 $(1,0) = c(2,\sqrt{5}) + d(\sqrt{5},-2)$ 得方程組 $2c + \sqrt{5}d = 1$、$\sqrt{5}c - 2d = 0$，由第二式得 $d = \frac{\sqrt{5}}{2}c$，代入第一式：$2c + \frac{5}{2}c = \frac{9}{2}c = 1$，所以 $c = \frac{2}{9} > 0$，$(5)$ 正確。 故選 $(1)$(2)$$(3)$(5)$。