100學測數學多選第9題詳解

$\triangle OAB$ 中，$O(0,0)$、$A(3,0)$、$B(0,4)$。因為 $\angle AOB = 90^\circ$，所以 $\triangle OAB$ 為直角三角形，斜邊 $\overline{AB} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。 外接圓 $C_1$：因為直角三角形的外接圓圓心為斜邊中點，所以圓心為 $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$，半徑 $R = \frac{5}{2}$。 內切圓 $C_2$：直角三角形的內切圓半徑 $r = \frac{\overline{OA}+\overline{OB}-\overline{AB}}{2} = \frac{3+4-5}{2} = 1$。因為 $\overline{OA}$、$\overline{OB}$ 為坐標軸且內切圓與兩軸相切，所以圓心為 $(1, 1)$。 選項 $(1)$ $C_1$ 的半徑為 $2$。因為 $R = \frac{5}{2} eq 2$，所以 $(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$ $C_1$ 的圓心在直線 $y = x$ 上。圓心 $(\frac{3}{2}, 2)$ 代入 $y = x$ 得 $2 eq \frac{3}{2}$，所以 $(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$ $C_1$ 的圓心在直線 $4x + 3y = 12$ 上。$4\cdot\frac{3}{2} + 3\cdot 2 = 6 + 6 = 12$，所以 $(3)$ 正確。 選項 $(4)$ $C_2$ 的圓心在直線 $y = x$ 上。圓心 $(1, 1)$ 代入得 $1 = 1$，所以 $(4)$ 正確。 選項 $(5)$ $C_2$ 的圓心在直線 $4x + 3y = 6$ 上。$4\cdot 1 + 3\cdot 1 = 7 eq 6$，所以 $(5)$ 錯誤。 故選 $(3)(4)$。