99指考數學甲多選第6題詳解

先以算幾不等式求各函數在 $x>0$ 時的最小值： - 因為 $x>0$，所以 $f(x)=x+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\frac{2}{x}}=2\sqrt{2}$。等號成立於 $x=\sqrt{2}$，故 $a=2\sqrt{2}$。 - 因為 $x^2>0$，所以 $g(x)=x^2+\frac{2}{x^2}\ge 2\sqrt{x^2\cdot\frac{2}{x^2}}=2\sqrt{2}$。等號成立於 $x^2=\sqrt{2}$，故 $b=2\sqrt{2}$。 - $h(x)=\sqrt{x^2+\frac{2}{x^2}}=\sqrt{g(x)}$。因為 $g(x)$ 最小值為 $2\sqrt{2}$，所以 $h(x)$ 最小值為 $c=\sqrt{2\sqrt{2}}=2^{\frac{3}{4}}$。 逐一檢查選項： 選項 $(1)$：$b=2\sqrt{2}$，$a^2=(2\sqrt{2})^2=8$。因為 $2\sqrt{2}\neq 8$，$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：$c=2^{\frac{3}{4}}$，$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：由算幾不等式，$f(x)+g(x)\ge 2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。但兩項等號分別要求 $x=\sqrt{2}$ 與 $x^2=\sqrt{2}$，無法同時成立，因此 $f(x)+g(x)>4\sqrt{2}=a+b$，最小值不是 $a+b$，$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：令 $t=g(x)=x^2+\frac{2}{x^2}\ge 2\sqrt{2}$。因為 $t>0$ 且平方根函數遞增，所以 $$g(x)+h(x)=t+\sqrt{t}\ge 2\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}}=b+c$$ 等號成立當且僅當 $t=2\sqrt{2}$，即 $x^2=\sqrt{2}$，也就是 $x^4=2$。因此 $(4)$ 正確。 故選 $(2)(4)$。