99指考數學甲多選第7題詳解

由 $a^{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ 且 $a>0$，可得 $$a=(\sqrt{3})^{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{\sqrt{3}}}=3^{\frac{1}{2\sqrt{3}}}=3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}$$ 逐一檢查選項： 選項 $(1)$：$a^3=\left(3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}\right)^3=3^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$。因為 $\frac{\sqrt{3}}{2}\neq 1$，所以 $a^3\neq 3$，$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：對 $a^{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ 兩邊取以 $\sqrt{3}$ 為底的對數，得 $$\log_{\sqrt{3}}\left(a^{\sqrt{3}}\right)=\log_{\sqrt{3}}(\sqrt{3})=1\;\implies\;\sqrt{3}\log_{\sqrt{3}}a=1\;\implies\;\log_{\sqrt{3}}a=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 因此 $\log_{\sqrt{3}}a\neq\sqrt{3}$，$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：因為 $\sqrt{3}>1$ 且指數 $\frac{\sqrt{3}}{6}>0$，所以 $a=3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}>3^0=1$，$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：比較指數部分 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 與 $\frac{1}{4}$ 的大小： $$2\sqrt{3}=\sqrt{12}<\sqrt{16}=4\;\implies\;\frac{1}{2\sqrt{3}}>\frac{1}{4}\;\implies\;\frac{\sqrt{3}}{6}>\frac{1}{4}$$ 因為底數 $3>1$，所以 $a=3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}>3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}$，故 $a<\sqrt[4]{3}$ 為錯誤敘述。 故選 $(3)$。