由 $A = \begin{bmatrix} 4 & a \\ 9 & b \end{bmatrix}$，其行列式為 $\det(A) = 4b - 9a = 2$。 移項整理得 $9a - 4b = -2$，故選項 $(1)$ 正確。 計算矩陣乘積 $AB$： $$AB = \begin{bmatrix} 4 & a \\ 9 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24+ac & 28+ad \\ 54+bc & 63+bd \end{bmatrix}$$ 由已知 $AB = \begin{bmatrix} 3 & 10 \\ -2 & 15 \end{bmatrix}$，對應各位置元素可得： 1. $24 + ac = 3 \implies ac = -21$，故選項 $(2)$ 錯誤。 2. $28 + ad = 10 \implies ad = -18$。 3. $54 + bc = -2 \implies bc = -56$。 4. $63 + bd = 15 \implies bd = -48$。 由 $ac = -21$ 與 $bc = -56$ 可得 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{-21}{-56} = \dfrac{3}{8} \implies a = \dfrac{3}{8}b$。 將其代入 $4b - 9a = 2$： $$4b - 9\left(\dfrac{3}{8}b\right) = 2 \implies \dfrac{5}{8}b = 2 \implies b = \dfrac{16}{5} = 3.2$$ 則 $a = \dfrac{3}{8} \times 3.2 = 1.2$。 進而求得 $c = \dfrac{-21}{1.2} = -17.5$，以及 $d = \dfrac{-18}{1.2} = -15$。故選項 $(3)$ 正確。 因 $\det(A) = 2$，故矩陣 $A$ 的逆矩陣為： $$A^{-1} = \dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} b & -a \\ -9 & 4 \end{bmatrix}$$ 選項 $(4)$ 中係數為 $-\dfrac{1}{2}$ 且元素配置不正確，故選項 $(4)$ 錯誤。 故選 $(1)(3)$。