$(1)$ 當 $A$ 為轉移矩陣時，實數 $a, b, c, d$ 須滿足的條件如下： - **非負性**：各元均為非負實數，即 $a \ge 0,\ b \ge 0,\ c \ge 0,\ d \ge 0$。 - **行和為 1**：每一行的各元之和為 $1$，即： $$\begin{cases} a + c = 1 \\ b + d = 1 \end{cases}$$ *（註：若教科書定義轉移矩陣為每列之和為 $1$，則條件為 $a + b = 1$ 且 $c + d = 1$，大考評分標準中以行或以列定義證明均可得分。）* $(2)$ **證明**（以每行之和為 $1$ 的定義為例）： 計算 $A^2$ 矩陣： $$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix}$$ 1. **非負性驗證**： 由於 $a, b, c, d$ 均為非負實數，故其平方及乘積的加總 $a^2 + bc$、$ab + bd$、$ac + cd$、$bc + d^2$ 亦必均為非負實數。 2. **行和驗證**： - **第一行之和**： $$(a^2 + bc) + (ac + cd) = a(a + c) + c(b + d)$$ 將已知條件 $a + c = 1$ 與 $b + d = 1$ 代入： $$a(1) + c(1) = a + c = 1$$ - **第二行之和**： $$(ab + bd) + (bc + d^2) = b(a + c) + d(b + d)$$ 同樣代入已知條件： $$b(1) + d(1) = b + d = 1$$ 由於 $A^2$ 的各元皆為非負實數，且其每一行之各元之和均為 $1$，故當 $A$ 為轉移矩陣時，$A^2$ 亦為轉移矩陣。