$(1)$ 聯立不等式的前三條直線方程式為： - $L_1: x + y = 0$ - $L_2: x + y = 6$ - $L_3: 2x - y = 0$ 由於 $L_1$ 與 $L_2$ 的斜率相同，這兩條直線互相平行。菱形的對邊必落在這兩條平行線上。 我們求 $L_3$ 與這兩條平行線的交點，即為菱形相鄰的兩個頂點： - 頂點 $O$ 為 $L_1$ 與 $L_3$ 的交點： $$\begin{cases} x + y = 0 \\ 2x - y = 0 \end{cases} \implies (x, y) = (0, 0) \implies O(0, 0)$$ - 頂點 $A$ 為 $L_2$ 與 $L_3$ 的交點： $$\begin{cases} x + y = 6 \\ 2x - y = 0 \end{cases} \implies (x, y) = (2, 4) \implies A(2, 4)$$ 因為 $O$ 與 $A$ 為菱形中相鄰的頂點，所以菱形的邊長即為線段 $OA$ 的長度： $$\overline{OA} = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ $(2)$ 因為此區域為一菱形，所以其對邊必兩兩平行。 由於 $L_1 \parallel L_2$，故第四條直線 $L_4: y = ax - b$（即 $ax - y = b$）必與 $L_3: 2x - y = 0$ 平行。 比對斜率可得： $$a = 2$$ 此時 $L_4$ 方程式為 $2x - y = b$。 設菱形的另一個頂點為 $C$，該點位於直線 $L_1: x + y = 0$ 上，且其到點 $O(0,0)$ 的距離為菱形邊長 $2\sqrt{5}$。 設 $C$ 點坐標為 $(t, -t)$，則： $$\overline{OC}^2 = t^2 + (-t)^2 = 2t^2 = 20 \implies t^2 = 10 \implies t = \pm\sqrt{10}$$ 根據不等式區域的幾何配置，頂點 $C$ 位於第四象限，坐標為 $(\sqrt{10}, -\sqrt{10})$。 此頂點 $C$ 亦必須在第四條邊的邊界直線 $2x - y = b$ 上，代入坐標得： $$b = 2(\sqrt{10}) - (-\sqrt{10}) = 3\sqrt{10}$$ 故得： $$a = 2,\ b = 3\sqrt{10}\text{（或 } \sqrt{90}\text{）}$$