100指考數學乙選填第10題詳解

可行解區域為平行四邊形 $ABCD$ 及其內部，這是一個凸多邊形區域。根據線性規劃頂點法，目標函數 $f(x,y) = ax + by$ 的極值必在邊界頂點處取得。 已知頂點坐標為： $$A(0,30),\ B(18,27),\ C(20,0),\ D(2,3)$$ 已知目標函數在 $D(2,3)$ 有最小值 $48$，即： $$f(2,3) = 2a + 3b = 48$$ 在平行四邊形 $ABCD$ 中，我們觀察頂點之間的關係。向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (18, -3)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{DC} = (18, -3)$，這證實了對邊平行且等長。對角線的交點（中心點）為： $$M = \left(\frac{0+20}{2}, \frac{30+0}{2}\right) = (10, 15)$$ $$M = \left(\frac{18+2}{2}, \frac{27+3}{2}\right) = (10, 15)$$ 這說明頂點 $B(18, 27)$ 與頂點 $D(2, 3)$ 關於中心對稱。根據線性目標函數的對稱性質，若極小值發生於頂點 $D$，則極大值必發生於其相對頂點 $B$。 我們來計算目標函數在 $B(18,27)$ 處的值： $$f(18,27) = 18a + 27b = 9(2a + 3b)$$ 因為上述推導，所以將 $2a + 3b = 48$ 代入上式得： $$f(18,27) = 9 \times 48 = 432$$ 故此目標函數在同個可行解區域的最大值為 $432$。