設點 $C$ 的坐標為 $\left(x, \dfrac{1}{2}x^2\right)$： 1. 計算向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (4 - (-2), 8 - 2) = (6, 6)$$ 2. 計算向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \left(x - (-2), \dfrac{1}{2}x^2 - 2\right) = \left(x + 2, \dfrac{1}{2}x^2 - 2\right)$$ 3. 計算內積 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC}$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = 6(x + 2) + 6\left(\dfrac{1}{2}x^2 - 2\right) = 6x + 12 + 3x^2 - 12 = 3x^2 + 6x$$ 4. 求最小值： 對二次式進行配方法： $$3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3(x + 1)^2 - 3$$ 故當 $x = -1$ 時，內積有最小值 $-3$。