102學測數學單選第3題詳解

設事件 $S$ 為甲和乙抽到相同顏色的球，事件 $A$ 為丙抽到白球。 甲、乙抽到同色球的情形有兩種： 1. 均為白球（白，白）： 因為甲先抽到白球的機率為 $\frac{3}{5}$，乙再抽到白球的機率為 $\frac{2}{4}$， 所以 $P(\text{白，白}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$。 此時袋中剩下 $1$ 顆白球與 $2$ 顆黑球，丙抽到白球的機率為 $\frac{1}{3}$。 因此，抽到（白，白，白）的機率為： $$P(\text{白，白，白}) = \frac{6}{20} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{20}.$$ 2. 均為黑球（黑，黑）： 因為甲先抽到黑球的機率為 $\frac{2}{5}$，乙再抽到黑球的機率為 $\frac{1}{4}$， 所以 $P(\text{黑，黑}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$。 此時袋中剩下 $3$ 顆白球與 $0$ 顆黑球，丙抽到白球的機率為 $1$。 因此，抽到（黑，黑，白）的機率為： $$P(\text{黑，黑，白}) = \frac{2}{20} \times 1 = \frac{2}{20}.$$ 甲、乙同色的機率為： $$P(S) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20}.$$ 丙抽到白球且甲、乙同色的機率為： $$P(A \cap S) = P(\text{白，白，白}) + P(\text{黑，黑，白}) = \frac{2}{20} + \frac{2}{20} = \frac{4}{20}.$$ 故所求條件機率為： $$P(A \mid S) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)} = \frac{\frac{4}{20}}{\frac{8}{20}} = \frac{1}{2},$$ 故選 $(3)$。