$(1)$ 因為 $f(1) = 1 - 2 - 1 + 1 = -1 \neq 0$，所以當 $x \to 1$ 時，分子趨近於 $-1$，分母趨近於 $0$。極限 $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}$ 不存在。此選項錯誤。 $(2)$ 計算 $f(x)$ 在特定整數點的值： - $f(-1) = -1 - 2 + 1 + 1 = -1 < 0$ - $f(0) = 1 > 0$ - $f(1) = -1 < 0$ - $f(3) = 27 - 18 - 3 + 1 = 7 > 0$ 由勘根定理，方程式 $f(x)=0$ 的三個實根範圍分別為： - $-1 < a < 0$ - $0 < b < 1$ - $2 < c < 3$ 因此，實根 $b$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，此選項正確。 $(3)$ 對於數列 $x, x^2, \dots, x^n, \dots$，其收斂的充要條件為 $-1 < x \le 1$。由於 $-1 < a < 0$，其絕對值小於 $1$，故此數列收斂於 $0$。此選項正確。 $(4)$ 同理，由於 $0 < b < 1$，此數列收斂於 $0$。此選項正確。 $(5)$ 由於 $c > 2$，數列 $c^n$ 會發散至無限大。此選項錯誤。 故正確選項為 $(2)(3)(4)$。