102指考數學甲多選第7題詳解

依頁圖題意，$f(x)=x^3-x^2-2x+1$。 $(1)$ 因為 $f$(1)$=1-1-2+1=-1 eq 0$，所以當 $x\to 1$ 時，分母 $x-1\to 0$，但分子 $f(x)\to -1$，故極限 $\lim\limits_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}$ 不存在。此選項錯誤。 $(2)$ 計算特定整數點的函數值： - $f(-2)=-8-4+4+1=-7<0$ - $f(-1)=-1-1+2+1=1>0$ - $f$(0)$=1>0$ - $f$(1)$=-1<0$ - $f$(2)$=8-4-4+1=1>0$ 由勘根定理，三個實根分別落在 $(-2,-1)$、$(0,1)$、$(1,2)$，故 $-2<a<-1$、$0<b<1$、$1<c<2$。因此 $a,b,c$ 至少有一個在 $0$ 與 $1$ 之間，此選項正確。 $(3)$ 數列 $r,r^2,r^3,\dots,r^n,\dots$ 收斂的充要條件為 $-1<r\le 1$。由於 $a<-1$，數列 $a^n$ 不收斂，此選項錯誤。 $(4)$ 由於 $0<b<1$，數列 $b^n$ 收斂於 $0$，此選項正確。 $(5)$ 由於 $c>1$，數列 $c^n$ 發散，此選項錯誤。 故正確選項為 $(2)(4)$。