設三平面的交點為 $(x_0, y_0, z_0)$，已知 $z_0 = 1$。代入方程組： - 由 $E_3 \implies x_0 + c(1) = 1 \implies x_0 = 1 - c$ - 由 $E_2 \implies cy_0 + 1 = 0 \implies cy_0 = -1$ - 由 $E_1 \implies c(1-c) + y_0 = c \implies c - c^2 + y_0 = c \implies y_0 = c^2$ 將 $y_0 = c^2$ 代入 $cy_0 = -1$ 中，得： $$c \cdot c^2 = -1 \implies c^3 = -1.$$ 因為 $c$ 為實數，所以 $c = -1$。 當 $c = -1$ 時，平面方程式為： - $E_1：-x + y = -1$ - $E_2：-y + z = 0$ - $E_3：x - z = 1$ 此時係數矩陣的行列式值為 $(-1)^3 + 1 = 0$。我們已知它有解 $(2, 1, 1)$，所以此方程組有無限多組解（三平面共線相交）。 - $(1)$ 代入 $(0,0,1)$ 到 $E_1 \implies 0 \neq -1$，故 $(0,0,1)$ 不是交點。此選項錯誤。 - $(2)$ 方程組無限多組解，即有無限多個交點。此選項正確。 - $(3)$ 三平面法向量分別為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 = (-1, 1, 0)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2 = (0, -1, 1)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_3 = (1, 0, -1)$，兩兩不平行，故無重合平面。此選項錯誤。 - $(4)$ $c = -1$，此選項錯誤。 - $(5)$ 線性聯立方程組的解為 $x = t+1, y = t, z = t$ ($t$ 為任意實數)。當 $t=2$ 時，交點為 $(3, 2, 2)$，其 $z$ 坐標為 $2$。此選項正確。 故正確選項為 $(2)(5)$。