102指考數學甲多選第5題詳解

$(1)$ 向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (2, 1)$，斜率 $m_{AB} = \frac{1}{2}$；向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC} = (2, 0)$，斜率 $m_{BC} = 0$。兩者斜率不同，故 $A, B, C$ 三點不共線，無法被同一直線通過。此選項錯誤。 $(2)$ 斜率 $m_{AB} = \frac{1}{2}$，而斜率 $m_{BD} = \frac{3-1}{4-0} = \frac{1}{2}$。因為 $m_{AB} = m_{BD}$，所以 $A, B, D$ 三點共線。共線的三點無法決定一個圓，此選項錯誤。 $(3)$ 因為 $B, C, D$ 三點的 $x$ 坐標皆相異且不共線，根據拉格朗日插值法，恰可唯一決定一個不高於二次的多項式。設此函數為 $y = ax^2 + bx + c$： - 通過 $B(0, 1) \implies c = 1$ - 通過 $C(2, 1) \implies 4a + 2b + 1 = 1 \implies 2a + b = 0 \implies b = -2a$ - 通過 $D(4, 3) \implies 16a + 4b + 1 = 3 \implies 16a + 4(-2a) = 2 \implies 8a = 2 \implies a = \frac{1}{4}$ 得 $b = -\frac{1}{2}$。方程式為 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 1$ 且最高次係數不為 $0$，故恰有一個二次函數圖形通過，此選項正確。 $(4)$ 同理，四點 $A, B, C, D$ 的 $x$ 坐標皆相異，由拉格朗日插值法，必可找到唯一一個不高於三次的多項式。設其為 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$。代入四點坐標可解得唯一的係數： - 通過 $B(0, 1) \implies d = 1$ - 代入 $A(-2,0), C(2,1), D(4,3)$ 解得 $a = \frac{1}{16}$, $b = -\frac{1}{8}$, $c = 0$。 多項式為 $y = \frac{1}{16}x^3 - \frac{1}{8}x^2 + 1$，其最高次項係數為 $\frac{1}{16} eq 0$，為三次多項式，此選項正確。 $(5)$ 因為 $A, B, D$ 三點共線，其直線方程式為 $L_1：y = \frac{1}{2}x + 1$。通過 $C(2,1)$ 且與 $L_1$ 平行的直線為 $L_2：y = \frac{1}{2}x$。這兩條平行線的聯集包含了這四個點，此選項正確。 故正確選項為 $(3)$(4)$(5)$。