103學測數學選填第18題詳解

將房間圖形視為上下兩排各 $5$ 格，並在左下方再接 $2$ 格。 令 $T(n)$ 表示 $2 \times n$ 長方形用 $1 \times 2$ 骨牌鋪滿的方法數。因為 $T$(1)$ = 1$、$T$(2)$ = 2$，且由遞迴 $T(n) = T(n-1) + T(n-2)$ 可得 $T$(3)$ = 3$、$T$(4)$ = 5$、$T$(5)$ = 8$。 先看左下方凸出的 $2$ 格： 若這 $2$ 格用一塊橫的瓷磚鋪，則剩下就是 $2 \times 5$ 長方形，所以鋪法有 $T$(5)$ = 8$ 種。 若這 $2$ 格不用橫的瓷磚鋪，則這兩格必須分別與其上方兩格各用一塊直的瓷磚連接。此時上方左側兩格已被佔去，剩下右側為 $2 \times 3$ 長方形，所以鋪法有 $T$(3)$ = 3$ 種。 因為兩種情形互斥且涵蓋所有可能，所以總鋪法為 $8 + 3 = 11$ 種。